شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | قضیه میانه ها](https://dl2.my-dars.com/upload/image/041744012357.jpg)
در مثلث ABC میانه AM را رسم کرده ایم، ثابت کنید:
\({b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\)
با استفاده از قضیه کسینوس ها در دو مثلث \(\mathop {ABM}\limits^\Delta \) و \(\mathop {ACM}\limits^\Delta \) داریم:
\(\begin{array}{l}\mathop {ABM}\limits^\Delta :A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} - 2AM.BM{\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\ \Rightarrow {c^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - 2AM.\left( {\frac{a}{2}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\\mathop {ACM}\limits^\Delta :A{C^2} = A{M^2} + C{M^2} - 2AM.CM - {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\ \Rightarrow {b^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + 2AM.\left( {\frac{a}{2}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\{c^2} + {b^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)
رابطه بالا برای میانه های دیگر مثلث نیز برقرار است:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {c^2} = 2B{M^2} + \frac{{{b^2}}}{2}\\\\{a^2} + {b^2} = 2C{M^2} + \frac{{{c^2}}}{2}\end{array}\)
در مثلث ABC اگر \(AB = 4\) ، \(AC = 6\) و \(BC = 8\) باشد طول میانه AM را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}{b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\\\\{6^2} + {4^2} = 2A{M^2} + \frac{{{8^2}}}{2}\\\\64 + 16 = 2A{M^2} + 32\\\\A{M^2} = 8 \Rightarrow AM = \sqrt 8 \end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
